极坐标机构：平面定位只需两个连续动作
一根贯穿中心的横梁 + 一颗能在横梁上滑动的滑块。转到哪个方向、滑到多远，就决定了笔尖在哪；纸笔抬落另由辅助二态执行器完成。
笔尖位置 =横梁转到的角度 θ+滑块离中心的距离 ρ
合起来：画出曲线
曲线
横梁上到底有几样东西
中心轴不画
位置永远不动，但整根横梁绕着它转。这就是你说的"中点固定"——它固定的是位置，不是角度。
滑块← 就是它在画
横梁上唯一的笔尖。沿横梁前后滑动，决定"离中心多远"；平面轨迹由这一个点画出。
可选动态配重待样机验证
基线方案不依赖配重，动画也不假定机构已平衡。若样机在快速移位时出现偏心振动，再评估对侧随动配重；减振收益、附加惯量与同步结构都要实测。
为什么横梁要"贯穿"中心
公式 r = a·cos(kθ) 里的 r 会变成负数，意思是"往反方向走"。
横梁只有半根 → 遇到负数得让横梁瞬间甩 180°，又快又难看，电机也吃不消。
横梁贯穿中心 → 滑块直接滑过中心去另外半边，动作连续。
玫瑰线 k=5 一个周期过零 5 次，蝴蝶曲线变号 74 次。
所以"贯穿"不是锦上添花，是必需品。
两个连续动作怎么驱动2 电机
θ（转）：底座电机 1 驱动外管，外管带着整根横梁旋转。
ρ（滑）：底座电机 2 驱动同轴内轴，经中心锥齿轮把动力折进横梁同步带。内轴相对外管多转或少转多少，就决定滑块移动多远。
两个电机和控制板都固定在底座；横梁上没有电机。笔尖发光与抬笔所需的电，经中心同轴线圈非接触送上去，因此不需要滑环或电刷。
和唱片机的区别：唱片机是唱片转、唱臂沿着一条固定弧线摆，唱针只能被动跟着纹路走。这台机器反过来——横梁转到哪个角度，滑块就主动滑到公式算出的那个距离，纹路是它自己现算现画出来的，不是预先刻好的。所以在 App 里换一条公式，它画的东西就完全变了。